证明f（x）在(a，b)可积，其绝对值也可积，其平方也可积

利用f可积，知道对任何e，t这样的分划存在。然后看|f|，在f的振幅较小的区间上，有如下几种可能，第一是f是保号的，所以|f|的振幅和f的一样，这是好的。

如果f不保号，那么由于f的振幅是小的，实际上|f|的振幅也不会大，应该是会更小，因为取了绝对值之后都跑到数轴一边了。所以f的振幅小的区间在|f|上都保持了。从而|f|振幅大的区间长不会超过f的，从而被控制了。用f的可积性就给出了|f|的可积性。

而f^2的可积性也是类似的。只要有这样的感觉就行了：f小的地方，f的平方就更小了。而由于f可积，所以f是有界的，所以f再大不会超过一个常数，大的就不用管了。

扩展资料：

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标。

从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围

在勒贝格测度理论的基础上建立起来的。这一积分可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛，特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。

参考资料来源：百度百科--可积函数

按照Riemann和逼近的定义来证明。可以使用可积性的等价刻画。有一种充分条件是说只要对任何小的e大于0，任何的t大于0，都存在一个分划，使得这个分划中振幅大于t的子区间的长度小于e就可以了。
所以利用f可积，知道对任何e，t这样的分划存在。然后看|f|，在f的振幅较小的区间上，有如下几种可能，第一是f是保号的，所以|f|的振幅和f的一样，这是好的。如果f不保号，那么由于f的振幅是小的，实际上|f|的振幅也不会大，应该是会更小，因为取了绝对值之后都跑到数轴一边了。所以f的振幅小的区间在|f|上都保持了。从而|f|振幅大的区间长不会超过f的，从而被控制了。用f的可积性就给出了|f|的可积性。
而f^2的可积性也是类似的。只要有这样的感觉就行了：f小的地方，f的平方就更小了。而由于f可积，所以f是有界的，所以f再大不会超过一个常数，大的就不用管了。