球体的重心问题

密度均匀，半径为R的一个球体，若将球体挖去一个半径为 R/2的小球（两球心在同一直线，且两球表面相切）,则剩余部分的重心在什么位置？这可是个初三学生问我的问题，他说他们老师给了答案，是距离球心R⼀6处

2026年09月18日 16:43

有3个网友回答

网友（1）：

随着建立的空间直角坐标系不同，重心坐标位置也不同，若建立过两球心与切点为Z轴，切点为原点的空间直角坐标系，则重心必定在Z轴上。

为了将问题简化，我们可以将该空间模型改为平面模型计算，然后再放回空间模型去。

过两球心与切点切开，以过球心与切点为y轴建立平面直角坐标系，计算剩余部分的质心。

剩余部分的面积为：3R*pai/4，利用极坐标计算积分：

积分p^2 sinQ dPdQ|（0，pai）=(R^3)*pai*7/8.

因此y=（(R^3)*pai*7/8）/(3R*pai/4)=7*R/6。

在空间直角坐标系有，重心距原点的距离在Z轴上为7*R/6，X,Y轴分量均为0

故此时的球心坐标为：（0，0，7*R/6）

距离切点7*R/6，距离球心就是7*R/6-R=R/6!!!

初中方法：在平面图中剩余面积为：PI*R^2-PI*(R/2)^2=PI*3(R^2)/4,
以大球心为支点，我们根据力矩平衡原理，求剩余部分质心(和重心等效)，有：

(PI*(R/2)^2)*(R/2)=(PI*3*(R^2)/4)*L (L为到球心的距离)

解得L=R/6.

由于该球体模型是空间对称故可知空间重心距球心的距离为R/6

网友（2）：

水面处于什么状态?..答案怎么说的呢..是面积最大的时候吗?

网友（3）：

条件好像不够