设a.b.c都在0到1之间，求证(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不同时大于四分之一。要详细步骤，谢谢

你好！！！用反证法来证明： 假设(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于1/4， 由于a，b，c∈(0，1)， 所以 √[(1-a)b]>1/2， √[(1-b)c]>1/2， √[(1-c)a]>1/2， 即√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]>3/2············① 又因为 √[(1-a)b]≤(1-a+b)/2，·············② √[(1-b)c]≤(1-b+c)/2， √[(1-c)a]≤(1-c+a)/2， 所以√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]≤3/2， 这与①式：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2矛盾。 所以假设不成立， 故(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一个不大于1/4。 注：本题用到了以下的基本不等式： 由于(√a-√b)^2≥0，展开得：a+b≥2√ab，即：√ab≤(a+b)/2。 ②式利用了该基本不等式。 希望能够帮助你！！！

采用反证法。
证明：
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因0所以有
√((1-a)b)>1/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2
则
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)
而由基本不等式：a,b∈R+, a+b≥2√(ab), 有
√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
所以
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2

这与已知的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)矛盾

所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4 ,即不同时大于四分之一
证毕。

钦，回答的都好猛……