奥数求解

过三角形ABC的三个顶点各作其外接圆切线，分别与相应对边所在直线相交，证明DEF共线

2026年09月22日 19:31

有5个网友回答

网友（1）：

设圆心为O，那么分别过A、B、C、三点做圆的切线，有 OC⊥CE OA⊥AF,OB⊥BD (DEF分别是三边延长线与切线的交点)

第一角元形式的梅涅劳斯定理，DEF在三角形三边的延长线上，共线的充要条件是

(sin∠ECA/sin∠ECB)(sin∠FAC/sin∠FAB)(sin∠DBA/sin∠DBC)=1

sin∠ECA = sin(∠ECO-∠ACO)=sin (π/2-∠ACO) =cos∠ACO

sin∠ECB=sin(∠ECO+∠BCO)=sin(π/2+∠BCO)=cos∠BCO

同理可证其它:

sin∠FAC=cos∠OAC

sin∠FAB=cos∠OAB

sin∠DBA=cos∠ABO

sin∠DBC=cos∠CBO

OAB ,OBC ,OAC都是等腰三角形，因此∠OAB=∠OBA ,等等。因此可证(sin∠ECA/sin∠ECB)(sin∠FAC/sin∠FAB)(sin∠DBA/sin∠DBC)=1，

即DEF三点共线，证毕。

有不清楚的希望再问我。

网友（2）：

网友（3）：

说清楚点。

网友（4）：

等边三角形不能相交

网友（5）：

题表述有问题，不一定能和相应对边所在直线相交。。要具体看是啥三角形