(高分悬赏）求数学高手，一道略难的题

概念引入：
由m*n个数组成的m行n列的数表，称为m行n列矩阵，或mXn[型]矩阵。
当n=m时，称为[n阶]方阵。正如矩形高与宽相等即是方形。
矩阵中的各个数称为矩阵的元素。

题目转述：
n阶方阵A，各元素取值为1或-1，所有这样的方阵构成集合S(n,n).
r_i (A)为A的第i行元素之积；注：不妨简称i行积。
c_j(A)为A的第j列元素之积。注：不妨简称j列积。
所有行积与列积的总和记作I(A)，称为行列积和。
外一则：
R(A)为各个行积之总和，称为行积和。
C(A)为各个列积之总各，称为列积和。
以下也将矩阵称为数表。

题：
(1)n=4，A=
+1 +1 -1 -1
+1 -1 +1 +1
+1 -1 -1 +1
-1 -1 +1 +1
求I(A).
(2)n=9，问I(A)=0能否成立？说明理由。
(3)n=9, 求所有I(A)取值构成的集合。
解：
(1)
R(A)=1-1+1+1, C(A)=-1-1+1-1, I(A)=R(A)+C(A)=2-2=0
(2)
首先我猜想，n为奇数时，I(A)的值不能为0.例如
n=1时，I(A)的取值集为{1,-1}.

以下来分析一般情况，参考了王小伟先生的思路。仅仅是对王小伟先生的答案作了注释。如果出题人认可，请采纳王小伟先生的答案。谢谢。包括谢谢王小伟先生。

先考虑任何一种特殊情况，如全为1或全为-1的情况（最易于分析）。
改变矩阵某个数，与之相关的一个行或列的值会反生变号。情况如：
1+(-1) <--> -1+ 1， 此时I(A)的值不变。
1+1 <--> -1+( -1)，此时I(A)的值的增加4或减少4.
总之，改变数表中任一个元素，I(A)的值的变化量为0, 4,-4之一。
极限状态是全1或全为-1,此时
若n=9, 则I(A)=18或-18，分别为最大值与最小值。
然后考虑变更其中任一个元素，得到I(A)的值除了保持18或-18之外，还可以是14,-14.
类似分析可知，I(A)的取值集是{±18,±14,±10,±6,±2}
此即第（3）题的答案，同时说明了第(2)题，n=9时，I(A)=0不能成立。

容易类推，当n为奇数时，I(A)=0不成立；当n为偶数时,I(A)=0在对于一定的方阵A成立。

外一则；湖南数学家张运筹先生对矩阵定义了列积和与列和积，并得出了高效的不等式，称为微微对偶不等式，成为论证不等式的重要手段。很多不等式，在构建了特定的方阵之后，就成为了微微对偶不等式的一个特例(推论)。

第一问就不回答了。
第二问，不存在，理由如下：
假设S(9,9)所有元素为1，那么有l(A)=(1+1+……+1)+(1+1+……+1)=18
如果S(9,9)中任意aij变为-1，那么l(A)的变化只有3种情况：-4,0,4
理由如下：ri变成-ri,cj变成-cj，其他都不变，也就是说ri由1变成-1（或者由-1变成1），cj由1变成-1（或者由-1变成1），其他都不变，那么l(A)的变化即为ri+cj的变化，显然ri和cj的变化都为±2，那么ri+cj的变化就只能是±4或者0了，而18是不能被4整除的，所以l(A)=0是不存在的。
其实这样第三问也就出来了：
P={±18，±14，±10，±6，±2}共含有10个元素
拓展一下，就是当n为奇数时，l(A)=0不存在，当n为偶数时，l(A)=0存在。
希望你能看明白，有不明白的再问。