一道高数曲线的弧长问题

求r=a[sin(θ/3)]3(3次方）的全长，为什么只需考虑θ在[0,3π]上就可以了？另一部分，r是小于零，为什么不用算？

2026年09月24日 13:05

有3个网友回答

网友（1）：

对于极坐标函数，“r定义为平面内某点到原点的距离”，距离最小是0，不可能为负数！出现负数是无意义的，因此其定义域隐含：y=r(θ)≥0，有点类似于根号内函数定义域也是要根式内值要不小于0.

一定要注意，你这个函数表达式用的是极坐标系，不是直角坐标系，直角坐标系的y有两个方向，可正可负，极坐标的r只有正值或0，没有负数！

另外，此函数为周期函数，周期是6π，因此只需要计算[0,6π]上的长度就行，实际上只有[0,3π]是由函数图象的，因此只需要计算[0,3π]

网友（2）：

sin(θ/3)的周期是6π，但sin(θ/3)大于零是在θ在[0,3π]上实现的而且sin(θ/3)关于3π对称所以只计算到3π再乘以二就可以了

网友（3）：

弧长总是大于0的。

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