好吧问答库 > 各项均为正数的等比数列(An)前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40=.

各项均为正数的等比数列(An)前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40=.

2026年09月17日 22:21

有3个网友回答

网友（1）：

前十项和：S10＝A1+A1q+A1q^2+......+A1q^9
第十一项到第二十项和：
S20-S10=A1q^10+A1q^11+......+A1q^19=q^10(A1+A1q+A1q^2+......+A1q^9)=S10*q^10
同理：第二十一项到第三十项和：S30-S20＝S10*q^20
则有：S30＝S10+S10*q^10+S10*q^20
即：70＝10+10*q^10+10*q^20 q^20+q^10-6=0 q^10=2或-3，各项均为正数，q^10不可能为-3，q^10=2
S40＝S10+S10*q^10+S10*q^20+S10*q^30=10+10*2+10*4+10*8=150

网友（2）：

Sn=a1(1-q^n)/（1-q）
代入数值
S10/S30=(1-q^10)/(1-q^30)=1/7
设x=q^10
解得x1=1，x2=2，x3=-3（舍）
S40=a1(1-q^40)/（1-q）=S10(1-x^4)/1-x
代入x=2得
S40=150
当x=1时，an为常数列，a1=1，不合题意
综上
S40=150

网友（3）：

由推论Sn,S2n-s3n,s3n-s2n,.........为等差数列，可得S20-2S10=S30=2S20+S10=S40=2S30+S20所以后面自己算