当每个值有规律变化时 平均数和方差怎么变

假设有a,b,c,d.,,,.n,n个数
平均数T=(a+b+c+...+n)/n,
方差S=[(a-T)^2+(b-T)^2+...+(n-T)^2)]/n

一、当所有的值有规律的加Δ时,这n个数变为
a+Δ,b+Δ,c+Δ,...,n+Δ(Δ>0视为加法,Δ<0视为减法)
此时T'=(a+Δ+b+Δ+...+n+Δ)/n=(a+b+c+...+n)/n+n*Δ/n=T+Δ
方差S'=[(a+Δ-T')^2+(b+Δ-T')^2+...+(n+Δ-T')^2)]/n,代入T'=T+Δ
得到S'=[(a+Δ-T-Δ)^2+(b+Δ-T-Δ)^2+...+(n+Δ-T-Δ)^2)]/n=S

二、当所有的值有规律的乘以β的时候(β≠0),这n个数变为
βa,βb,βc,...βn(β>1视为乘法,β<1视为减法)
此时T''=(βa+βb+...+βn)/n=β(a+b+c+...+n)/n=βT
方差S''=[(βa-βT)^2+(βb-βT)^2+...+(βn-βT)^2)]/n=[β^2*(a-T)^2+β^2*(b-T)^2+...+β^2(n-T)^2)]/n
=β^2*[(a-T)^2+(b-T)^2+...+(n-T)^2)]/n=β^2*S

三、当β=0时，a,b,c,...,n变为n个0,平均数T'''=0,方差S'''=0
结论:当所有的值做有规律的加减Δ的时候,平均数增加或减少Δ,方差不变
当所有的值做有规律的乘除β(β≠0)时,平均数扩大或减小β,方差扩大或减小β^2倍.
当所有的数都乘以0时,平均数变为0,方差变为0.