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04考研数学定积分问题

04考研有这样一道题：已知f✀(x)=xe^(-x)且f(1)=0则f(x)=?答案是这样写的：令t=e^x，所以f✀(t)=lnt/t所以f(t)=f(1)+∫（下限1上限t）f✀(s)ds)=∫（下限1上限t）lns/sds=1/2(lnt)^2.为什么上式要计算f(1)??

2026年09月25日 08:02

有3个网友回答

网友（1）：

已知，f'(x)=xe-x,f(1)=0,那么根据常规的解题思路我们就会设ex=t,x=lnt那么f'(t)=lnt/t,那么我们很容易得出f(t)=∫1t (lnt/t)dt 容易看出，∫t1lntd(lnt)=f(t)则可以得到f(t)=(lnt)2/2¦t1=(lnt)2/2--f(1)=(lnt)2/2
所以f(x)=(lnx)2/2
希望可以帮到你

网友（2）：

好吧，你题抄错了f'(x)=xe^(-x),应该是f'(e^x)=xe^(-x),让我看了好久也没看出来。
其次，f(t)-f(1)=∫（下限1上限t）f'(s)ds)是很常规的公式啊，F(a)-F(b)=∫（下b上a）f(x)dx,这道题只是把f(1)移到了等号右边。

网友（3）：

F（b）— F（a）=∫（下a上b）f(x)dx
基本的积分公式