泰勒公式几何解释

泰勒公式几何解释 ：

如下图，先建立n阶曲边三角形的概念。1阶曲边三角形就是曲线y=x与x轴即y=0以及x=x围成的曲边三角形（这里是横纵直角边皆为x的等边直角三角形），以下简称标准曲边三角形的面积。此处已将直线和直线三角形分别当做曲线和曲边三角形的特殊情况。1阶标准曲边三角形的面积就是x对x的积分，设它为S1，S1=(1/2!)x^2。现在仍以x为自变量但以S1为函数值建立新曲线y=S1，这可形成2阶标准曲边三角形，设其面积为S2，它等于S1对x的积分，S2=(1/3!)x^3。
同样，可以S2为函数值建立新曲线y=S2，这可形成3阶标准曲边三角形，设其面积为S3，它等于S2对x的积分，S3=(1/4!)x^4.......依次类推。

给出函数f(x)的泰勒展开公式的几何直观解释，为方便从0点展开公式（经过坐标系平移总能做到这一点）。如图，先看曲线y=f(x)所围曲边梯形的面积S，即S=f(x)对x的积分。另外，在一级近似下，S等于矩形面积f(0)x。【在n＋1级近似下，还要外加n个曲边三角形的面积，每个曲边三角形的面积，与f(0)的n阶导数成正比，且与n阶标准曲边三角形的面积成正比】。

即f(x)对x的积分 = f(0)x + f'(0)S1 + f''(0)S2 + f'''(0)S3 + ... + o。
代入各标准曲边三角形的面积公式，再方程两边对x求导，就得到：
f(x) = f(0) + f'(0)x + (1/2!)f''(0)x^2 + (1/3!)f'''(0)x^3 + (1/4!)f''''(0)x^4+ ... + o。
此即f(x)的泰勒展开式。

在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

答题要有技巧！一般想不出是，因为惯性思维困着你。打破你自己的界限吧！授人与鱼，不如授人与渔！