设函数f(x)在（-∞，+∞）上满足f(2-x)=f(2+x).f(7-x)=f(7+x),且在[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0

看来基本思路你都清楚了,我这里提醒几点:
1.
原来的函数的确是以10为周期,但是条件f(2-x)=f(2+x).f(7-x)=f(7+x)还说明该函数是以X=2和X=7轴对称的,这样根据条件: 1) f(x)是以10为周期的函数
2) f(x)以X=2和X=7轴对称
基本就可以想象函数的图形 函数有无数个对称轴...2,7,12,17,22,27...
你可以想|COS|大概就是相似的形状
2.下面主要解决你追问的问题:
由条件, 在[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0,显然这两个根也满足关于x=2对称
另外,函数是关于X=7对称的, 所以在[7,14]上也只有两个根,那就是F(11)=F(13)=0
依此类推,你就可以得出所有根的数目了

那么方程的解应是
x1=1+10a,x2=3+10b,(a,b∈Z)
多好，两类根都不带重的
那么令x1∈[-2008,2008],x2∈[-2008,2008]
a∈[-200,200],b∈[-201,200]
这样看有803个解啊

周期是10
在[0,10]上有两个解而且在这个区间的第2个和第4个是0
在[-10，0]也有两个解而且在这个区间的第2个和第4个是0
那么在[0，2005]上就有2×200+2=402 2001是0，2003也是0
那么在[-2005，0]上就有2×200=400 因为在[-2005,2000]上无0点的
总共有802个解！

你知道周期是十的，然后分做正负考虑，正向的，1-10之间只有 f(1)=f(3)=0两个根，依次类推，正向的到2000一共400个，加上f(2001)=f(2003)=0 一共402个 ； 再看负向 由于关于二对称 所以负的是从-7 开始 f（-7）=f（-9）=0 一直到-2000 是400个 再加上-2007 我觉得应该一共是 803个 你看看呢

在区间[0,10]上有两个根，周期为10。在[-2000,2000]上有400个这样的周期，就有800个根。
f(2001)=f(1)=0，f(2003)=f(3)=0，应该有802个根