好吧问答库 > 设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足f(x)＋f﹙x－1／x﹚＝1＋x,求f(x)的解析式

设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足f(x)＋f﹙x－1／x﹚＝1＋x,求f(x)的解析式

2026年09月27日 14:17

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网友（1）：

令x=(y-1)/y
f((y-1)/y)+f(1/(1-y))=1+(y-1)/y
令y=(z-1)/z
f(1/(1-z))+f(z)=1+1/(1-z)
将字母换掉,可得
f(x)+f((x-1)/x)=1+x
f((x-1)/x)+f(1/(1-x))=1+(x-1)/x
f(1/(1-x))+f(x)=1+1/(1-x)
方便起见,设f(x)=a,f((x-1)/x)=b,f(1/(1-x))=c.
a+b=1+x ①
b+c=1+(x-1)/x ②
c+a=1+1/(1-x) ③
③-②得a-b=1/(1-x)-(x-1)/x
再加上①得
2a=1+x+1/(1-x)-(x-1)/x
a=[1+x+1/(1-x)-(x-1)/x]/2
即f(x)=[1+x+1/(1-x)-(x-1)/x]/2