泰勒公式可以在区间的端点展开吗

在闭区间端点的导数其实是开区间内电导数的极限,只要求一边可导即可,不像通常可导的定义要求两边可导且导数相同.所以为了简洁和统一,泰勒里用开区间。

1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论。

18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook Taylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。

1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。

不是很理解你的问题,既然在闭区间[a,b]内有直到n+1阶的导数,那么在a和b展开也不奇怪了
补充：在闭区间端点的导数其实是开区间内电导数的极限,只要求一边可导即可,不像通常可导的定义要求两边可导且导数相同.所以为了简洁和统一,泰勒里用开区间.
另外数学上开区间（开集）的用处远远大于闭集,几乎所有定义都是在开集上的,连闭集本身都是（开集的补集）.