对函数进行求导然后整理成的形式,因为,根据导函数大于原函数单调递增,导函数小于原函数单调递减通过讨论函数值的情况来确定原函数的单调性.先根据的范围确定导函数等于的两根的范围,进而可判断函数在区间上的单调性,最后可得到最小值.
解:由已知.因为,以下讨论函数值的情况:当时,,即,所以在上是减函数.当时,的判别式,所以,即,所以在上是减函数.当时,有两个根,并且,所以在区间上,,即,在此区间上是增函数;在区间上,,即,在此区间上是减函数.在区间上,,即,在此区间上是增函数.综上,当时,在上是减函数;当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.当时,,,所以在区间上,函数单调递减.所以函数在区间上的最小值为.
本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,函数的最值问题.函数的最值和函数的单调性有紧密联系.判断较复杂函数的单调性,利用导函数的符号是基本方法.
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