∫ lnx⼀(1+x눀)^(3⼀2) dx =∫ lnx d[x⼀√(1+x눀)] 分部积分，这一

∫ lnx/(1+x²)^(3/2) dx

=∫ lnx d[x/√(1+x²)]

=lnx*x/√(1+x^2)-∫1/x*x/√(1+x^2)*dx

=xlnx/√(1+x^2)-∫dx/√(1+x^2)

=xlnx/√(1+x^2)-ln(x+√(1+x^2)+C。

分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

扩展资料：

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

参考资料：百度百科-分部积分法

主要是同济教材里面前面一节的习题里面有这一结果
∫ 1/(1+x²)^(3/2) dx
=x/√(1+x²)+C

其实你也可以直接设
x=tant
化简以后再分部积分
不是很复杂的

∫ lnx/(1+x²)^(3/2) dx
=∫ lnx d[x/√(1+x²)]
=lnx*x/√(1+x^2)-∫1/x*x/√(1+x^2)*dx
=xlnx/√(1+x^2)-∫dx/√(1+x^2)
=xlnx/√(1+x^2)-ln(x+√(1+x^2)+C.