求微分方程xydy⼀dx=x^2+y^2满足条件

微积分微分方程问题1 求微分方程xy dy/dx = x^2+Y^2满足初始条件的Y|x=e =2e的特解

2026年09月24日 09:47

有2个网友回答

网友（1）：

这是一阶齐次微分方程
(x^2+y^2)dx-xydy=0
dy/dx=(x²+y²)/(xy)
dy/dx=((x/y)²+1)/(x/y)
令u=y/x
则dy=du*x+dx*u
dy/dx=(du/dx)*x+u
代入得
(du/dx)*x+u=(u²+1)/u=u+1/u
du/dx=1/(xu)
u*du=dx/x
两边积分得
(1/2)u²=lnx+c
将u=y/x回代
(1/2)(y/x)²=(lnx)+c
y²=2x²((lnx)+c)
这是该微分方程的通解~

网友（2）：

dy=du*x+u*dx怎么来的啊