用柯西不等式证a^2+b^2+c^2>=1⼀3

a,b,c都为正数，a+b+c=1用柯西不等式证a^2+b^2+c^2>=1/3。谢谢...

2026年09月24日 16:58

有2个网友回答

网友（1）：

（a^2+b^2+c^2）(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1
所以a^2+b^2+c^2>=1/3
当a=b=c=1/3时成立
就这么简单

网友（2）：

证明：
由a+b+c=1得到
(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
a^+b^2+c^2=1-2ab-2bc-2ac>=1-(a^2+b^2)-(b^2+c^2)-(a^2+c^2)
=1-2a^2-2b^2-2c^2
所以3(a^2+b^2+c^2)>=1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3