高一函数周期问题

已知函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x，总有f(x)=f(x-1)+f(x+1),求证f(x)为周期函数

2026年09月23日 23:36

有3个网友回答

网友（1）：

以 x+1代替 x 带入 f(x)=f(x-1)+f(x+1)
得：
f(x+1)=f(x)+f(x+2))
再将f(x)=f(x-1)+f(x+1
代入上式得：
f(x+1)=f(x+1)+f(x-1)+f(x+2)
所以 f(x+2)=-f(x-1)
即f(x+3)=-f(x)
f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x)

网友（2）：

f(x)=f(x-1)+f(x+1)
f(x+1)=f(x)+f(x+2)
两式相消得
-f(x-1)=f(x+2)
-f(x)=f(x+3)
再来
f(x)=f(x-1)+f(x+1)
f(x-1)=f(x-2)+f(x)
两式相消得
-f(x+1)=f(x-2)
-f(x)=f(x-3)
你应该会了吧

网友（3）：

f(x+1)=f(x)+f(x+2)
f(x+1)=f(x+1)+f(x-1)+f(x+2)
f(x+2)=-f(x-1)
即f(x+3)=-f(x)
f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x)

高一 函数周期问题

高一函数周期问题