在三角形ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,动点E(与点A、C不重合)在AC边上，EF平行AB交BC于点F.

第一个问题比较简单：答案为CE=24/7
主要说一下第二个问题：
有两种情况：
（1）EF为等腰直角三角形的斜边，首先求出AB边上的高为12/5(这个不要说不会噢）
根据等腰直角三角形斜边上的高与中线共线且直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的原理，设EF边上的高为x,则EF=2x,可以将三角形EFP边上的高平移到直角三角形AB边上的高上，此时，因为EF//AB,所以△ECF∽△ACB,
有2x/5=(12/5-x)/(12/5)
解得：x=60/49,
EF=2x=120/49
(2)假设∠EFP为直角
此时应有EF=FP
可以证明△ECF∽△FBP(两个对应角相等)
设CF=y
则有FP=EF=5y/3
BF=3-y
PF/BF=4/5
所以有：5y/3/(3-y)=4/5
解得：y=36/37
EF=5y/3=60/37
无法插入图形，希望能对你有所帮助

1)设CE＝x,则CF＝0.75x,EF=1.25x,
有x+0.75x+1.25x=4-x+5+3-0.75x+1.25x

2)当EF=FP，作CD⊥AB，交AB于M，EF于N，
ACM∽ABC，AC/CM=AB/BC，CM=2.4。
设CN=x，则FP=EF=2.4-x，
CN/CM=EF/AB，自己算
当EF=EP，道理相同
当PF=EP，作CM⊥EF,EN⊥AB,
设CE=x,CM=3/5x,
EF=5/4x,EP=√2/2EF=5/8√2x
EN=5/8x,(3/5x+5/8x)=2.4
求出EN,自己算

(2)由题意知三角形ABC是直角三角形
设CE＝4t，那么CF＝3t，EF=5t
AE＝4－4t，BF＝3－3t
所以3t+4t+5t=5t+4-4t+5+3-3t
那么t＝6/7
所以CE＝24/7
(3)如果三角形EFP为等腰直角三角形，那么C、E、P、F四点共圆。
并且EF为直径，EF的中点点O即为圆心
可得EO=OF＝OP
设EF＝5t
那么梯形的高为2.5t
又梯形面积＝1/2*(5t+5)*2.5t
梯形面积=1/2*3*4-1/2*3t*4t
所以25t^2+49t-24=0
解得t=0.406
所以EF＝2.03

解：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等，
∴S△ECF：S△ACB=1：2，
又∵EF∥AB，∴△ECF∽△ACB，
∴S△ECFS△ACB=(
CECA)2=
12，且AC=4，
∴CE=2
2；

（2）设CE的长为x，
∵△ECF∽△ACB，
∴CECA=
CFCB，∴CF=34x，
由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，得：
x+EF+
34x=(4-x)+5+(3-
34x)+EF
解得x=247，∴CE的长为247．

解：1）、首先，好象三角形ECP应该为三角形ECB!
∵EF‖AB,∴(CE/AC)^2=S△ECB/S△ACB,
又S△ACB=S△ECB+S梯形EABF,且S△ECB=S梯形EABF
∴（CE/AC)^2=1/2,即(CE/4)^2=1/2,
∴CE=2√2
2)、假设AB上存在点P，使三角形EFP为等腰直角三角形，
由AB=5,BC=3,AC=4易得△ABC为∠C=90°的直角三角形，且cosB=3/5,cosA=4/5
下面不妨设CE=x,CF=y,
∵EF‖AB,∴CE/AC=CF/CB,即x/4=y/3,则y=3x/4
又∵∠EPF=90°,∴C,F,P,E四点共圆
∴∠BCP=∠ACP=∠PEF=∠PFE=45°,即CP平分∠BCA
BP/PA=CB/CA=3/4,
又BP+PC=BC=5，∴PA=20/7,PB=15/7
那么PE^2=AE^2+AP^2-2*AE*AP*cosA,PF^2=BF^2+BP^2-2*BF*BP*cosB
即，PE^2=（4-x)^2+(20/7)^2-2*(4-x)*20/7*4/5
PF^2=(3-y)^2+(15/7)^2-2*(3-y)*15/7*3/5
又∵PE=PF,∴(4-x)^2+(20/7)^2-2*(4-x)*20/7*4/5=(3-y)^2+(15/7)^2-2*(3-y)*15/7*3/5
(4-x)^2-(3-y)^2+25/7+18(3-y)/7-32(4-x)/7=0
代入y=3x/4整理得49x^2-96x=0得x=96/49,x=0舍去
∴EF=5x/4=120/49