好吧问答库 > 证明方程 x=asinx+b至少有一个正根,其中a>0,b>0,并且不超过a+b.

证明方程 x=asinx+b至少有一个正根,其中a>0,b>0,并且不超过a+b.

2026年09月26日 02:18

有2个网友回答

网友（1）：

证明：
令f(x)=x-asinx-b
易知f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b
=a-asin(a+b)≥a-a=0
f(0)=-b<0
因f(x)在[0,a+b]上连续
据连续函数的中值定理
存在t∈（0，a+b],使得f（t）=0
显然t即为x=asinx+b的正根
且t≤a+b

网友（2）：

令f(x)＝x－asinx－b.
f(a+b)＝a＋b－asin(a+b)－b＝a－asin(a+b)≥a－a＝0
若f(a+b)＝0，则a+b是方程x＝asinx＋b的一个正根，且不超过a+b，所以结论成立.
若f(a+b)＞0，又f(0)＝－b＜0，f(x)在[0,a+b]上连续，由零点定理，至少存在一点ξ∈(0,a+b)，使得f(ξ)＝0，即ξ＝asinξ＋b，所以ξ是方程x＝asinx＋b的正根，且不超过a+b.
综上，方程x＝asinx＋b至少有一个正根，且不超过a+b.