求极限，如图所示

let

u=x-t

du =-dt

t=0, u=x

t=x, u=0

∫(0->x) ln[cos(x-t)] dt

=∫(x->0) ln[cosu] (-du)

=∫(0-x) ln[cost] dt

x->0

√[+(f(x))^2] 等价于 =1+(1/2)[f(x)]^2

√[+(f(x))^2] -1 等价于 =(1/2)[f(x)]^2

//

lim(x->0) ∫(0->x) ln[cos(x-t)] dt/ { √[+(f(x))^2] -1 }

=lim(x->0) ∫(0->x) ln(cost) dt/ { √[+(f(x))^2] -1 }

=lim(x->0) ∫(0->x) ln(cost) dt/ { 1/2)[f(x)]^2 }

洛必达

=lim(x->0)  ln(cosx) / [f(x).f'(x)]

cosx=1+(cosx-1)

=lim(x->0)  ln[1+(cosx-1)]  / [f(x).f'(x)]

②中，应用了题设条件“f'(x)连续、f'(0)=1”而“略写”了。另外，③中，属“0/0”型，亦可以应用洛必达法则。结果是0。

首先分子有理化，配上平方差项，这时分子的结果是tanx-sinx，分母是X^3(.+.),.就是那两个根号，这时把分子化成sinx/cosx - sinx 的形式，

没有想到好的办法，还是泰勒级数简单一些。sinx=x-x^3/6+o(x^3)(sinx)^2=(x-x^3/6+o(... (5/6)x^4+o(x^4)和√（1+x^2）=1+x^2/2-x^4/8+o(x^4)带入极限得到原极限=[-（5/6）] / [-(1/8)...

给的条件有 f'(0) = 1.
求极限里这个 f'(x) 因子可以单独拿出来，当 x→0 时，f'(x) →1，所以就不用写了。