已知公比为q（q≠1）的无穷等比数列{an}的首项a1=1．（1）若q=13，在a1与a2之间插入k个数b1，b2，…，bk

（1）由条件得1，b₁，b₂，…b_k，

1

3

，

1

9

成等差数列，
所以公差d=-

2

9

，k=2，
所以这2个数为：b₁=

7

9

，b₂=

5

9

；                                            …（2分）
（2）设a₁与a₂之间插入k个数，k∈N，且k≤m，则在a₂与a₃之间插入（m-k）个数，
由条件这等差数列第一项为a₁=1，第k+2项为a₂=q，第m+2项为a₂=q²，
所以

q?1

k+1

=

q2?q

m?k+1

，q≠1，
所以q=

m?k+1

k+1

，且 k≠

m

2

；
所以公比q的所有可能的取值的集合{ q|q=

m?k+1

k+1

，k∈N，k≤m且k≠

m

2

}；…（6分）
（3）当且仅当q∈N，且q≥2时，在数列{a_n}的每相邻两项a_k，a_k+1之间插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）个数，使之成为一个等差数列；
证明如下：
（i）当q∈N，且q≥2时，新构成的等差数列可以是正整数数列1，2，3，…，显然满足条件；      …（8分）
（ii） 若在数列{a_n}的每相邻两项a_k，a_k+1之间插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）个数，使之成为一个等差数列，这个等差数列设为{b_n}，则对于任意的k∈N^*，都有

ak+1?ak

ck+1

＝

ak+2?ak+1

ck+1+1

，
即

qk?qk?1

ck+1

=

qk+1?qk

ck+1+1

，q≠1且q≠0，
所以q=

ck+1+1

ck+1

，c_k+1，c_k∈N，
所以q为正有理数，{a_n}为正项无穷等比数列，
若q不为整数，不妨设q=

t

p

，其中p，t∈N^*，p与t互质，且p≥2，
等差数列{b_n}的公差为d=