好吧问答库 > 已知函数f（x）=e^x⼀xe^x+1证明0＜f(x)≤1 当x等于0时f(x)＞1⼀ax^2+1求

已知函数f（x）=e^x⼀xe^x+1证明0＜f(x)≤1 当x等于0时f(x)＞1⼀ax^2+1求

2026年09月29日 00:04

有2个网友回答

网友（1）：

a<0时ax^2+1可以趋向于0+，命题不成立。
a=0时f(x)>1,与(1)矛盾。
∴a>0,于是ax^2+1>1/f(x)=(xe^x+1)/e^x=x+e^(-x),
a>[x-1+e^(-x)]/x^2,记为g(x),x>0.
g'(x)={[1-e^(-x)]x^2-2x[x-1+e^(-x)]}/x^4
=[x-xe^(-x)-2x+2-2e^(-x)]/x^3
=[2-x-(x+2)e^(-x)]/x^3,
设h(x)=2-x-(x+2)e^(-x),x>0,则
h'(x)=-1-(1-x-2)e^(-x)=-1+(x+1)e^(-x),
h''(x)=-xe^(-x)<0,
∴h'(x)是减函数，h'(x)∴h(x)是减函数，h(x)∴g'(x)<0,g(x)是减函数，g(x)∴a>=1/2,为所求.

网友（2）：

题目打错了吧？？分子中有一个e^x，分母中也有一个e^x，那一化简不成了f(x)
=
1/x啦？！！所以显然题目打错了。。