求R与ε之间的关系

已知ε=6A⼀R눀，cos(L⼀R)=1-3a눀⼀2R눀，A的表达式如图所示。其中L为常数。

2026年09月26日 13:43

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网友（1）：

分享解法如下。“[]”内的不定积分为“-R√(R²-ρ²)”，∴在所给定的区域内，其定积分为“R²-R²{4(R²-a²)cos²θ/[4(R²-a²)cos²θ+a²]}^(1/2)”。
∴A=πR²/3-R²∫(2π/3,π)dθ{4(R²-a²)cos²θ/[4(R²-a²)cos²θ+a²]}^(1/2)。
而，4(R²-a²)cos²θ/[4(R²-a²)cos²θ+a²]=4(R²-a²)cos²θ/[(4R²-3a²)-(4R²-4a²)sin²θ]=[4(R²-a²)/(4R²-3a²)]cos²θ/[1-(4R²-4a²)sin²θ/(4R²-3a²)]。
令4(R²-a²)/(4R²-3a²)=c²、sinθ=t。∴∫(2π/3,π)dθ{4(R²-a²)cos²θ/[4(R²-a²)cos²θ+a²]}^(1/2)=-∫(0,√3/2)cdt/√(1-c²t²)=arcsin(c√3/2)。
∴A=πR²/3-R²arcsin(c√3/2)，其中c=√[4(R²-a²)/(4R²-3a²)]。