立体几何的二面角

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 0≤θ≤π
相交时 0<θ<π，共面时 θ=π或0 有六种：
1.定义法
2.垂面法
3.射影定理
4.三垂线定理
5.向量法
6.转化法
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得
也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。然后根据n1·n2=|n1||n2|cosα，θ=α为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α
二面角的通常求法：
（1）由定义作出二面角的平面角；
（2）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；
（3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；
（4）空间坐标求二面角的大小。
其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。
（3）中利用三垂线定理求二面角，如图，前提条件是平面α与平面β的交线为 l。直线AB垂直于平面β于B点，交α于A点，步骤是：
第一步，过B作BP垂直于l与P。
第二步，连接AP。则∠APB为二面角A-l-B的平面角。
第三步，求出∠APB的大小，即为二面角A-l-B的大小。
如果是利用三垂线逆定理，前提条件相同，步骤是：
第一步，过A作AP垂直于l与P。
第二步，连接BP。则∠APB为二面角A-l-B的平面角。
第三步，求出∠APB的大小，即为二面角A-l-B的大小。 （1）作出二面角的平面角：
A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；
B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角；
C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角；D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。
（2）证明该角为平面角；
（3）归纳到三角形求角。
另外，也可以利用空间向量求出。 直线的方向向量：向量所在直线和直线平行或重合的向量叫做直线的方向向量。点的位置向量：选一点作为基点，空间中任意一点可用向量OP表示。
平面的法向量：如果α所在的直线垂直于平面β，那么α是β的法向量。 直线所成的角：设直线m、n的方向向量为a、b，m，n所成的角为a。
cosa=cos=a*b/|a||b|
直线和平面所成的角：设直线m的方向向量为a，平面e的法向量为c。
设b为m和e所成的角，则b=π/2±。sinb=|cos|=|a*c|/|a||c|
二面角：当双法向量的朝向一致时，平面e、f的法向量为c、d设二面角e-e∩f-f为a，那么a=π-=π-|c*d|/|c||d|
当双法向量的朝向不一致时，平面e、f的法向量为c、d
设二面角e-e∩f-f为a，那么a==|c*d|/|c||d| 异面直线的距离：l1、l2为异面直线，l1，l2公垂直线的方向向量为n，C、D为l1、l2上任意一点，l1到l2的距离为|AB|=|CD*n|/|n|
点到平面的距离：设PA为平面的一条斜线，O是P点在a内的射影，PA和a所成的角为b，n为a的法向量。
易得：|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|
直线到平面的距离为在直线上一点到平面的距离；
平面到平面的距离为在平面上一点到平面的距离；点到直线的距离：A∈l,O是P点在l上的射影，PA和l所成的角为b，s为l的方向向量。
易得：|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin|=|(PA|^2|s|^2|-|PA*s|^2)^1/2/|s|