好吧问答库 > 数学问题: 已知圆x∧2+y∧2=4,直线l:y=x+b,当b为何值时,圆x∧2+y∧2=4上恰好有3个点到直线l的距离都等于1

数学问题: 已知圆x∧2+y∧2=4,直线l:y=x+b,当b为何值时,圆x∧2+y∧2=4上恰好有3个点到直线l的距离都等于1

2026年09月09日 23:58

有3个网友回答

网友（1）：

把y=x+b代入圆x²+y²=4的方程,得2x²+2bx+b²-4=0

由判别式△=4b²-8(b²-4)=0,得b²=±2√2,

切点Q(x0,y0),则Q1(-√2,√2), Q2(√2,-√2)

OQ的中点M1(-√2/2,√2/2), M2 (√2/2,-√2/2)

OQ的斜率k=-1

∴ 过M且与切线平行的直线的方程是:y-√2/2=(x+√2/2)或y+√2/2=(x-√2/2).此时b=±√2

∴ 当b为±√2时，圆x^2+y^2=4上恰好有3个点到直线l的距离都等于1(如图所示).

网友（2）：

先作图，再想”圆x∧2+y∧2=4上恰好有3个点到直线l的距离都等于1”的意思．
只有满足”一点（A）在L的一侧，另2点（B，C）在L的另外一侧”才可以符合上面的这个条件．又”只有A到线L（设交点为D）的垂线经过原点O”才可以满足BC在另一侧，所以AD＝OA－OD＝R－OD＝2－OD＝1．所以OD＝1，再用点到线的距离公式（其他方法也可）得b=±√2

网友（3）：

作图
b=±√2