一个标准椭圆上任意2点和原点组成的三角形面积最大是多少？

用投影的办法. 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)可以由直径为2b的圆柱斜截而得, 截平面相对于圆柱底面的斜率为c/b(c为焦距). 所截椭圆就是圆柱底面在截面上的投影. 底面上面积为A的区域在斜截面上投影的面积为(a/b)A. 所以问题完全转化为“圆上任意两点与圆心构成的三角形面积最大是多少？”，这个很显显然是两半径垂直时最大，为b²/2, 对应的椭圆中的最大三角形为两半径为共轭半径时，面积为（a/b)b²/2=ab/2

解：设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上任意两点，则直线OA方程为y/x=y1/x1,即y1x-x1y=0
根据点到直线距离公式,点B(x2,y2)到直线OA的距离d=|y1x2-x1y2|/√(y1²+x1²)
△AOB的面积S=|OA|*d/2
=[√(y1²+x1²)*|y1x2-x1y2|/√(y1²+x1²)]/2
=|y1x2-x1y2|/2
∵点A(x1,y1)和点B(x2,y2)是椭圆上两点，∴两点坐标可以写成如下形式：
x1=acosα,y1=bsinα,x2=acosβ,y2=bsinβ,代入面积可得：
S=|y1x2-x1y2|/2
=|bsinα*acosβ-acosα*bsinβ|/2
=|sinαcosβ-cosαsinβ|*(ab/2)
=|sin(α-β)|*(ab/2)≤ab/2

ab/2

推算得:ab/2