f(x)=arctan2x, 求f(0)的2019阶导数

这个应该是找规律的题目，先求一阶导数在0处的值，再求2阶导数在0处的值，就这样多求几次，一般不会超过5次，找规律就可以推出2019阶导数在0处的值了。

因为arctanx的导数为：1/(1+x^2)，
所以arctanx的泰勒展开式为：
1-x^2+x^4-x^6+....(-1)^(n-1)x^(2n)
则：
arctan(2x)
=
2x
-
(8x^3)/3
+
(32x^5)/5
-
(128x^7)/7
+....+
(-1)^(n-1）(2x)^(2n-1)/(2n-1)
则其2019阶导数时，前面的n=1009项全部为0，n=1010项为：
(-1)^(n-1)*(2n-1)!/（2n-1)*2^(2n-1)
=(-1)^1009*(2019!)/2019*2^2019
=-2018!
*2^2019
后面的项全部含有x,所以当x取0时，为0.
所以其2019阶导数为-2018!
*2^2019

简单计算一下即可，答案如图所示

下列极限都是趋于0，我就不重复写x→0
∵函数f(x)有连续二阶导数
∴f'(x),f''(x)都存在
可以利用洛必达法则
lim(f(x)-x)/x2
(0/0型）
=lim(f'(x)-1)/2x
（0/0型）
=limf''(x)/2
=f''(0)/2
=-1