能使2 n +256是完全平方数的正整数n的值为______．

2026年09月25日 03:37

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网友（1）：

当n≤8时，2ⁿ +256=2ⁿ （1+2^8-n ），若它是完全平方数，则n是2的倍数．
若n=2，则2ⁿ +256=2² ×65；
若n=4，则2ⁿ +256=2⁴ ×17；
若n=6，则2ⁿ +256=2⁶ ×5；
若n=8，则2ⁿ +256=2⁸ ×2．
所以，当n≤8时，2ⁿ +256都不是完全平方数．
当n＞8时，2ⁿ +256=2⁸ （2^n-8 +1），若它是完全平方数，则2^n-8 +1为一奇数的平方．
设2^n-8 +1=（2k+1）² （k为自然数），则2^n-10 =k（k+1）．
由于k和k+1一奇一偶，
且是2的n-10次方，符合要求的只有1×2，
所以k=1，于是2^n-10 =2，
故n=11．
故答案为：11．