三角形ABC外心为O,三边上的高线分别是AD、BE、CF,连结AO并延长与圆O的交点为H,与EF的交点为M.连结BH.则：∠BAH＋∠AHB=90°,而E、F、B、C四点共圆(∠BFC=∠BEC=90°),则∠AFE=∠ACB=∠AHB,从而∠BAH＋∠AFE=90°,即AH垂直EF.其他的垂直同理可证.
,7,三角形的外心就是其三边中垂线的交点。取三边中点DEF,由于OA=OB得OD垂直于AB同理得其他两个,3,已知，O是△ABC的外心，AD、BE、CF分别是高。先征明EF⊥AO：
作△ABC的外接圆⊙O，过A作⊙O的切线AP
则 AP⊥AO∠PAC＝∠ABC
∵∠BEC＝∠BFC＝90°
∴BCEF四点共圆且∠AEF是四边形BCEF的一个外角它应该等于内对角
即 ∠AEF＝∠ABC
∴∠PAC＝∠AEF
∴AP||EF
而AP⊥AO
∴EF⊥AO
其余同理可证。
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