函数增减性证明

已知定义域在区间(-m，m)(m>0)上,值域为R的函数f(x)满足:1.当0<x<m时,f(x)>0;2.对于定义域内的任何实数a.b均满足:f(a+b)=[f(a)+f(b)]/[1-f(a)f(b)].

2026年09月25日 22:59

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网友（1）：

令a=0，b=0，则
f(0)=2f(0)/[1-f(0)^2]
f(0){1-2/[1-f(0)^2]}=0
得
f(0)=0或者1-2/[1-f(0)^2=0(舍弃)
令a=-b
则f(a+b)=f(0)=[f(a)+f(-a)]/[1-f(a)f(-a)]=0
消去分母，得
f(a)+f(-a)=0
即f(a)=-f(-a)
说明f(x)为奇函数
令a>0，b>0，则a+b>a，f(a)>0，f(b)>0，f(a+b)>0
原公式f(a+b)=[f(a)+f(b)]/[1-f(a)f(b)]消去分母
f(a+b)-f(a+b)f(a)f(b)=f(a)+f(b)
f(a+b)-f(a)=f(a+b)f(a)f(b)+f(b)>0
∴f(x)为增函数