用拉格朗日定理做内接于椭球面的最大长方体体积

用多元函数极值求内接于半轴为a,b,c的椭球体内最大的长方体的体积，多元函数是v=xyz。

限制条件是[(x/2)^2]/a^2+[(y/2)^2]/b^2+[(z/2)^2]/c^2=1l=v+λ（[(x/2)^2]/a^2+[(y/2)^2]/b^2+[(z/2)^2]/c^2）。根据l对x，y，z一阶偏导均等于0求出驻点，再用b^2-ac验证是否为极大值。

拉格朗日定理存在于多个学科领域中，分别为：微积分中的拉格朗日中值定理；数论中的四平方和定理；群论中的拉格朗日定理 (群论)。

拉格朗日定理的推导：

在微积分中，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点。

又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。

试试看：

如图所示：

简单分析一下，详情如图所示

^V=8xyz，然后构造拉格朗日函数

（条件极值L(x,y,z,λ)=8xyz+λ(x^du2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1)

解得x=a/√3,y=b/√3,z=c/√3

例如：

^V=xyz

x^2+y^2+z^2=4a^2

F(x,y,z)=xyz+λ(x^2+y^2+z^2-4a^2)

所有F方程的偏微分设为零，得到一个方程组：

yz+2λx=0

xz+2λy=0

xy+2λz=0

而x^2+y^2+z^2=4a^2

解方程组，得:

x=y=z=(2/3)(根号3)a

最大体积=xyz=(8/9)(根号3)a^3

扩展资料：

通常，动能的参数为广义速度（符号上方的点号表示对于时间全导数），而势能的参数为广义坐标，所以，拉格朗日函数的参数为 。解析一个问题，最先要选择一个合适的广义坐标。然后，计算出其拉格朗日函数。假定这些参数（广义坐标、广义速度）都互相独立，就可以用拉格朗日方程来求得系统的运动方程。

在力学系上只有保守力的作用，则力学系及其运动条件就完全可以用拉格朗日函数表示出来。这里说的运动条件是指系统所受的主动力和约束。因此，给定了拉氏函数的明显形式就等于给出了一个确定的力学系。拉氏函数是力学系的特性函数。

参考资料来源：百度百科-拉格朗日函数