2012孝感中考数学25题解法

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3）
∴当x=0时，c=3．
又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0）
∴0=a-b+30=9a+3b+3​，解得a=-1b=2​
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3
又∵y=-x2+2x+3，y=-（x-1）2+4
∴顶点D的坐标是（1，4）．

（2）设直线BD的解析式为y=kx+n（k≠0）
∵直线y=kx+n过点B（3，0），D（1，4）
∴0=3k+n4=k+n​，解得k=-2n=6​
∴直线BD的解析式：y=-2x+6
∵P点在线段BD上，因此，设点P坐标为（m，-2m+6）
又∵PM⊥x轴于点M，∴PM=-2m+6，OM=m
又∵A（-1，0），C（0，3）∴OA=1，OC=3
设四边形PMAC面积为S，则
S=12OA•OC+12（PM+OC）•OM=12×1×3+
12（-2m+6+3）•m
=-m2+92m+32=-（m-94）2+10516
∵1＜
94＜3
∴当m=94时，四边形PMAC面积的最大值为10516
此时，P点坐标是（94，32）．

（3）答案：（2，3）；（114，1516）．
******注：以下给出解题简要过程，原题并无此要求******
①四边形PQAC是平行四边形，如右图①所示．
过点P作PE⊥x轴于点E，易证△AOC≌△QEP，∴yP=PE=CO=3．
又CP∥x轴，则点C（0，3）与点P关于对称轴x=1对称，∴xP=2．
∴P（2，3）．
②四边形PQAC是等腰梯形，如右图②所示．
设P（m，n），P点在抛物线上，则有n=-m2+2m+3．
过P点作PE⊥x轴于点E，则PE=n．
在Rt△OAC中，OA=1，OC=3，∴AC=10，tan∠CAO=3，cos∠CAO=1010；
∵PQ∥CA，∴tan∠PQE=PEQE=tan∠CAO=3，
∴QE=13n，PQ=QE2+PE2=103n．
过点Q作QM∥PC，交AC于点M，则四边形PCMQ为平行四边形，△QAM为等腰三角形．再过点Q作QN⊥AC于点N．
则有：CM=PQ=103n，AN=12AM=12（AC-CM）=102（1-13n），
AQ=ANcos∠CAO=
102(1-
13n)1010=5（1-13n）．
又AQ=AO+OQ=1+（m-13n），
∴5（1-13n）=1+（m-13n），化简得：n=3-34m；
又P点在抛物线上，有n=-m2+2m+3，
∴-m2+2m+3=3-34m，化简得：m2-114m=0，解得m1=0（舍去），m2=114
∴m=114，n=3-34m=1516，
∴P（114，1516）．