好吧问答库 > 已知x+(1⼀x)=-1，求x^2019+(1⼀x)^2019，这是一道高中题可以用递推得方法解决？

已知x+(1⼀x)=-1，求x^2019+(1⼀x)^2019，这是一道高中题可以用递推得方法解决？

然而我并不想用递推的方法，我想用虚数来解决这道题，因此我想询问如何用虚数的办法解决

2026年09月19日 14:01

有2个网友回答

网友（1）：

x+(1/x)=-1, x^2+x+1=0
x=-1/2±i√3/2=e^(i*2π/3) or e^(i*4π/3)
1/x=e^[i*(-2π/3)] or e^[i*(-4π/3)]
x^2019+(1/x)^2019=e^[i*2019*(-2π/3)] + e^[i*2019*(-4π/3)]
=e^[i*(-1346π)] + e^[i*(-2692π)]=2
解法2：x^2+x+1=0，(x-1)(x^2+x+1)=0，x^3-1=0，x^3=1
x^2019=(x^3)^673=1^673=1
x^2019+(1/x)^2019=2

网友（2）：

解如下图所示