分数为什么都是有限小数和循环小数?

所有的分数,都可以看作是一个整数m除以另外一个整数n的结果.这个结果一定是个小数,但是小数点后的位数可能是有限的,也可能是无限的.如果是有限的,那它就是有限小数.例如13÷5=2.6.如果是无限的,那它为什么就一定是无限循环小数,而不是无限不循环小数呢?这就是这个问题的核心,也是楼主要问的吧?
可以这样思考,你想一想你笔算除法的过程：一个整数m除以一个整数n,余数肯定比除数n小,除不断就在余数后面加个0继续除以n.不管你除多少次,每次除得的余数肯定比n小.而n是个有限的整数,也就是说每次除得的余数只可能是1,2,3,...,n-1中的一个,无穷个余数只能取这有限个值,所以一定会出现重复.一旦有重复的余数出现,就会开始一个新的循环.例如：8除以7,所得的余数分别是1,3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5...
所以,分数8/7实际上就是一个无限循环小数1.142857142857142857...
以上说明了“所有的分数都是无限循环小数或有限小数”,希望能够对您有所帮助!

a/b的除法计算的每一步总可以得到一个商数和一个余数，关键的性质在于余数上，记得吗？余数总是小于除数，也就是说经过大于除数步的计算总有一个时刻使得余数和以前的余数相等，而且被除数没有余位可借了（对于真分数一开始就已经没有可借的余数了），这时发生了一件事情就是从这位起商数将出现循环，因为这时的计算重复了以前的计算。你可以算一下看看。比如简单的1/3
会有总是余1总是舔位得3不是吗？
所以本质在于分数的分母总是有限的一个整数。

可以在数学上严格证明的~
我中学的时候还证过...