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【典型例题】

例1. 将下列八个数21、242、66、65、25、33、35、39平均分成两组，使这两组数的乘积相等，如何分？

解：要把这八个数分成两组，每组四个数，要使每组四个数的乘积相等。就必须保证每组中的四个数所含的质因数相同，而且相同质因数的个数必须完全相同。要达到这个目的，先要把这八个数分别分解质因数。

21=3×7 242=2×11×11 25=5×5

39=3×13 35=5×7 33=3×11

66=2×3×11 65=5×13

这八个数的全部质因数中，一共有2个2，4个3，4个5，2个7，4个11，2个13，平均分成两组时，每组数里应含有1个2，2个3，2个5，1个7，2个11，1个13，这样得到的两个乘积才会相等。

我们可以搭配成：21、242、25、39和35、33、66、65两组。

例2. 72共有多少个不同的约数？

解：同学们已经学过用枚举的方法求一个数的约数。

72的约数有：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72共12个。

如果求一个较大数的约数个数，用这种方法一个一个去枚举的话，那是非常麻烦的。这里向同学们介绍一种新的方法。

先将72分解质因数，72=2×2×2×3×3=23×32

不难看出，72的全部约数是23的约数（1，2，22，23）与32的约数（1，3，32）之间的两两乘积。下面我们将72的全部约数用数阵形式列出：

1 3 32（9）

2 2×3（6） 2×32（18）

22（4） 22×3（12） 22×32（36）

23（8） 23×3（24） 23×32（72）

这里一共有4×3=12（个）约数，也就是在分解质因数时，72=23×32中，对23的约数有（3+1）种选择：1，2，4，8对32的约数有（2+1）种选择：1，3，9。

因此，72的约数个数是：（3+1）×（2+1）=12（个）

这种方法对一般情形都适用。

如：144=24×32 144的约数个数是（4+1）×（2+1）=15（个）。

今后同学们再求一个数约数个数时，可以用这个结论。

一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（指数）加1的连乘积。

例3. 求72所有约数的和是多少？

解：我们观察72的全部约数

1 3 32

2 2×3（6） 2×32（18）

22（4） 22×3（12） 22×32（36）

23（8） 23×3（24） 23×32（72）

（1+2+22+23）+（1+2+22+23）×3+（1+2+22+23）×32

=（1+2+22+23）×（1+3+32）

这说明，72=23×32的约数和是23的约数和与32的约数和的乘积。

这个方法对一般情形也适用。

今后在求一个合数的所有约数的和时，可以用下面的结论：

求一个合数的所有约数的和，先将这个合数分解质因数，将仅含一个质因数的全部约数相加，再将这些和相乘，则乘积就是全部约数的和。

例4. 2520共有多少个约数？它们全部约数的和是多少？

解：2520=23×32×5×7

2520的约数个数为：（3+1）×（2+1）×（1+1）×（1+1）=48（个）

2520的全部约数和为：（1+2+22+23）×（1+3+32）×（1+5）×（1+7）=9360