证明极限的一道题

若limXn(n趋于无穷)=a，则lim(n趋于无穷)|Xn|=|a|，反之是否成立，为什么？

2026年09月18日 10:48

有5个网友回答

网友（1）：

因为 limXn(n趋于无穷)=a
即对任意e>0,存在N>0，n>N时
|xn-a|又因为
||xn|-|a||≤|xn-a|
从而
对刚才的e,及N,又
||xn|-|a||由定义，得
lim(n趋于无穷)|Xn|=|a|
反之未必成立
如
xn=1,-1,1,-1,......

网友（2）：

∵lim(Xn)=a
∴对于任意的n，存在正整数N，使得当n>N时，|Xn-a|<ε成立
而||Xn|-|a||≤|Xn-a|<ε
即对于任意的n，存在正整数N，使得当n>N时，||Xn|-|a||<ε成立
∴lim(|Xn|)=|a|
反之，不成立
比如Xn=(-1)^n
lim(|Xn|)=1
但是Xn极限不存在

网友（3）：

lim | |X(n)|-|a| | <= lim |X(n)-a| = 0, 所以lim | |X(n)|-|a| | = 0
反之不成立，比如X(n)=(-1)^n

网友（4）：

前面成立是由于极限的保号性，Xn和a同号绝对值后必等，反之Xn可能趋于a或-a，不成立

网友（5）：

举个反例即可a《0时不成立