设0≤x≤1,p大于1,试证:1⼀2^ (p-1)≤x^p+(1-x)^p≤1

简单计算一下即可，答案如图所示

设f(x)
=
x^p+(1-x)^p，则
f'(x)
=
(p-1)x^(p-1)
-
(p-1)(1-x)^(p-1)
=
(p-1)[x^(p-1)
-
(1-x)^(p-1)]
先求出f(x)在区间[0,1]两端的函数值，得到
f(0)=f(1)=1
再求出f(x)在区间[0,1]内使f'(x)=0的点。得
f'(x)
=
(p-1)[x^(p-1)
-
(1-x)^(p-1)]
=
0
x^(p-1)
=
(1-x)^(p-1)
得到x=1-x，x=1/2
得f(1/2)
=
2*(1/2)^p
=
(1/2)^(p-1)
经检验得到f(1/2)为f(x)的一个极小值。
由于p>1，因此f(x)在[0,1]内没有不可导的点。综上所述，得到
f(x)的最小值为(1/2)^(p-1)（在x=1/2处取到），最大值为1（在区间端点处取到）
即
(1/2)^(p-1))≤x^p+(1-x)^p≤1

解：
e（y）=e（e^x)
=∫（0到2）【xe^x/4】dx
=1/4∫（0到2）【xe^x】dx
=1/4∫（0到2）【x】de^x
=1/4xe^x|（0到2）-1/4∫（0到2）【e^x】dx
=e2/2-1/4(e2-e^0)
=e2/4+1/4
d(y)可能下一周才学呀，让我看看书先有公式
d（x）=e（x2）-[e(x)]2
于是
d（y）=e(y2)-[e(y)]2=e{(e^x)2}-[e(y)]2=e(e^2x)-[e(y)]2
求e(e^2x)
e(e^2x)=∫（0到2）【xe^2x/4】dx
=1/8∫（0到2）【2xe^2x】dx
=1/8∫（0到2）【x】de^2x
=1/8xe^x|（0到2）-1/8∫（0到2）【e^2x】d2x
=e^4/4-1/8(e^4-e^0)
=e^4/8+1/8
于是
d（y）=e(e^2x)-[e(y)]2
=e^4/8+1/8-（e2/4+1/4）2
=（e2-1）2/16