设f(x)有三阶连续的导数,且f(x+h)=f(x)+hf✀(x+θh),0<θ<1中的θ与h无关,试证f✀✀✀=0

2026年09月17日 07:35
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f(x+h)=f(x)+hf'(x+th)
两边对h求导得:
f’(x+h)=f'(x+th)+thf''(x+th)
f’(x+h)-f'(x)=f'(x+th)-f'(x)+thf''(x+th)
(f’(x+h)-f'(x))/h=t(f'(x+th)-f'(x))/th+tf''(x+th)
令h趋于0,取极限得:
f''(x)=limtf''(x)+limtf''(x)
所以lim(h趋于0)t=1/2