为什么sinC×cosA + sinAcosC= sin(A+C)?????

这是两角和的正弦公式

两角和的正弦与余弦公式：

（1）       sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；

（2）       cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；

教材的思路是在直角坐标系的单位圆中，

根据两点间的距离公式推导：

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ； 

再用诱导公式证明： sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；

如图所示：∠AOD=α，∠BOD=-β，∠AOC=β，∠DOC=β+α。

则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）；C[cos（α+β），sin（α+β）]。

∵  OA=OB=OC=OD=1

∴  CD=AB。

∵  CD2=[cos（α+β）-1] 2+[ sin（α+β）-0] 2；

       =cos2（α+β）- 2cos（α+β）+1 + sin2（α+β）；

       =2-2 cos（α+β）。

   AB2=（cosα-cosβ）2+ （sinα+sinβ）2；

      =cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β；

      =2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。

∴   2-2 cos（α+β）=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。

∴   cos（α+β）=cosαcosβ- sinαsinβ 

∴   sin（α+β）= cos（90°-α-β）

                =cos[（90°-α）+（-β）]

                =cos（90°-α）cos（-β）- sin（90°-α）sin（-β）

                =sinαcosβ+cosαsinβ