好吧问答库 > 求证(a+b^2+2⼀a^2)*(a^2+1⼀b^2+4⼀a)≥18

求证(a+b^2+2⼀a^2)*(a^2+1⼀b^2+4⼀a)≥18

a>0,b>0求证(a+b^2+2/a^2)*(a^2+1/b^2+4/a)≥18复制来的答案不要。谢谢了...

2026年09月23日 17:51

有1个网友回答

网友（1）：

比较直接的办法是用Cauchy不等式:
(a+b²+2/a²)(a²+1/b²+4/a)
= (a+b²+2/a²)(4/a+1/b²+a²)
≥ (√(a·4/a)+√(b²·1/b²)+√(2/a²·a²))²
= (2+1+√2)²
= 11+6√2
> 18.

也可以乘开用均值不等式:
(a+b²+2/a²)(a²+1/b²+4/a)
= a³+a/b²+4+a²b²+1+4b²/a+2+2/(a²b²)+8/a³
= 7+(a³+8/a³)+(a²b²+2/(a²b²))+(a/b²+4b²/a)
≥ 7+2·√(a³·8/a³)+2·√(a²b²·2/(a²b²))+2·√(a/b²·4b²/a)
= 7+2√8+2√2+4
= 11+6√2
> 18.

注: 有点巧合的是两种放缩方法中的第一个不等好都可以成立等号的.
原式在a = √2, b = 1/2^(1/4)取得最小值11+6√2.