好吧问答库 > 已知a+b+c=0,a三次方+b三次方+c三次方=0,求证a五次方+b五次方+c五次方=0

已知a+b+c=0,a三次方+b三次方+c三次方=0,求证a五次方+b五次方+c五次方=0

2026年09月24日 15:48

有1个网友回答

网友（1）：

首先可验证恒等式a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).
代入a+b+c = a^3+b^3+c^3 = 0得abc = 0.
于是a^5+b^5+c^5 = (a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-(ab^4+ac^4+ba^4+bc^4+ca^4+cb^4)
= (a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)+abc(a^2+b^2+c^2)
= 0.