一到初一的数学题，急急急！！！

证明：对任意的自然数n，n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数.（若一个数等于某个整数的平方，哪么这个数是完全平方数）

2026年09月23日 06:07

有5个网友回答

网友（1）：

这个问题简单：
证明：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n4+6n3+11n2+6n+1
令(n2+an+b)2 恒等于上式n4+6n3+11n2+6n+1
即n4+2an3+(2b+a2)n2+2abn+b2=n4+6n3+11n2+6n+1
所以a=3 , b=1
即n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2
又因为n为自然数，故n(n+1)(n+2)(n+3)+1为一个完全平方数
证明完毕

网友（2）：

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)(n+2)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1=(n^2+3n+1)^2
这样的题，基本上都是乘开后该干嘛干吗

网友（3）：

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)(n+2)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1=(n^2+3n+1)^2

网友（4）：

乘开它后配方

网友（5）：

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n^4+6n^3+11n^2+6n+1=(n^2+3n+1)^2