好吧问答库 > 已知a+b=1 求证a⼀(b^3-1)-b⼀(a^3-1)=2(b-a)⼀a^2b^2+1

已知a+b=1 求证a⼀(b^3-1)-b⼀(a^3-1)=2(b-a)⼀a^2b^2+1

2026年09月23日 05:59

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网友（1）：

应该是求证：a/（b^3－1）－b/（a^3－1）＝2（b－a）/（a^2b^2＋3）。
［证明］
∵a＋b＝1，∴1－a＝b、1－b＝a，
∴1－2a＋a^2＝b^2、1－2b＋b^2＝a^2，∴1＋a＋a^2＝3a＋b^2、1＋b＋b^2＝3b＋a^2。
∴a/（b^3－1）－b/（a^3－1）
＝b/（1－a^3）－a/（1－b^3）
＝b/［（1－a）（1＋a＋a^2）］－a/［（1－b）（1＋b＋b^2）］
＝1/（1＋a＋a^2）－1/（1＋b＋b^2）
＝［（1＋b＋b^2）－（1＋a＋a^2）］/［（1＋a＋a^2）（1＋b＋b^2）］
＝［（b－a）＋（b^2－a^2）］/［（3a＋b^2）（3b＋a^2）］
＝［（b－a）＋（a＋b）（b－a）］/（9ab＋3a^3＋3b^3＋a^2b^2）
＝2（b－a）/［a^2b^2＋3（a＋b）（a^2－ab＋b^2）＋9ab］
＝2（b－a）/［a^2b^2＋3（a^2＋2ab＋b^2－3ab）＋9ab］
＝2（b－a）/［a^2b^2＋3（a＋b）^2］
＝2（b－a）/（a^2b^2＋3）。