有界函数一定有极限吗？

2026年09月29日 09:08

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网友（1）：

有界函数不一定有极限。

让一个有界函数f（x）是一个函数在区间E，如果任何x属于E，存在常数m和m，mf（x）≤≤m，那么f（x）是一个有界函数在区间E．m是叫f（x）的下限区间E和m称为f（x）区间的上限。

有界函数不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有一个上（下）界，这意味着范围内的ƒ（D）是一个上（下）界集合。根据确定原则，ƒ在域内具有上（下）确定。

一个特殊的情况是有界序列，其中X是所有自然数的集合N。由ƒ（x）＝sinx定义的函数f：R→R是有界的。当x越来越接近－1或1时，它会越来越大。

函数的性质：

1、单调性

闭区间上的单调函数必须是有界的。反之则不然。

2、连续性

在闭区间上的连续函数一定是有界的。反之则不然。

3、可积性

闭区间上的可积函数必须有界。反之则不然。