_____hearing that his father was ill,je was so anxious to be back that he immediately went to？

单独的现在分词短语Hearing that his father was ill（听到他父亲生病，⋯）也可作本句话的时间状语，但在前面加了介词On后，则加强了语气。汉语意思则有：＂一听到他父亲生病，⋯＂。相当于As soon as he heard that his father was ill,...

您好，英语中的时间状语可以分为3大类：1类是两个动作同时间发生，也就是有交集的时间点或是时间段；两个动作是一前一后，不是同时间发生；第三个是两个动作几乎同时间发生，也就是尽管是一前一后，但是动作是挨在一起的。
第三种的两个动作一前一后挨在一起的用法就是使用（on + 动名词词组）的形式体现出来的。所以：
On hearing that his father was ill, he was so anxious to be back that he immediately went to the station to buy a ticket?
这里可以理解为（一听到父亲病了，他的心理马上焦虑了……）也就是（听）和（焦虑）几乎是同时间发生的。
类似这样的句子还有比如：
On arriving at the train station, they were taken to the museum by bus.
这里的理解是一下火车，马上就有大巴接上他们带他们去博物馆了。之间是没有逗留的时间。

on hearing表示“一听到”，强调每次都是同样的动作，例如：On hearing the bells,she rushed out of the classroom.每次她听到铃响,她就快速冲出教室。hearing是分词，表示“听到”，往往做伴随状语。
其实填after从语法角度上说也是没问题的，分句和主句前后主语一致就可以用这种用法。

这句话不填也可以，用现在分词作状语，也是可以的，但是要强调一怎样就怎样的时候，就要在动名词前面用一个介词on。
在德语中，现在分词也可以作状语，它的逻辑主语与句子中的主语是一致的，但德语中的现在分词短语作状语时，我们会把它的宾语和状语放在现在分词前面来使用，如：
Hörend, dass sein Vater krank war, wollte er so unbedingt wiederkommen, dass er sofort zum Bahnhof ging, um eine Fahrkarte zu kaufen.
希望我能帮助你解疑释惑。

On hearing that his father was ill, he was so anxious to be back that he immediately went to.
On hearing that…, 是介词+现在分词构成的短语。
on hearing：一听到…（他父亲得病的消息）。