矩阵为四阶方阵，它的秩为2有三个向量解，求通解

四阶方阵秩为2
那么有4-2=2个齐次方程向量
η1-η2已经得到一个(-1,0,3,-4)^T
而3(η1+η2)-2(η3+2η2)=(-1,4,3,-12)^T
再减去(η1-η2)即(0,1,0,-8)^T又是一个向量
(η1+η2)/2=(3/2,1,1/2,-1)^T为特解
故通解为(3/2,1,1/2,-1)^T+c1(-1,0,3,-4)^T+c2(0,1,0,-8)^T
c1c2为常数

4元方程组， R(A) = 2, 则对应的齐次方程 Ax = 0 的基础解系含线性无关向量个数是
4 - R(A) = 2.
η1-η2 = (-1, 0, 3, -4)^T , η1+η2 = (3, 2, 1, -2)^T
解得 η1 = (1, 1, 2, -3)^T， η2 = (2, 1, -1, 1)^T.
Aη1 = b， Aη2 = b， Aη3 = b

A(η1-η2) = 0, η1-η2 = (-1, 0, 3, -4)^T 是 Ax = 0 的基础解系;
(η3+2η2)-3η2 = η3-η2 = (-1, -2, 3, 0)^T 是 Ax = 0 的基础解系;
AX = b 的通解是
x = (1, 1, 2, -3)^T + k(-1, 0, 3, -4)^T + c(-1, -2, 3, 0)^T