本体是利用单调有界定理来证明数列极限存在的。
定理：单调有界数列必有极限。
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所以现在要证明两个事情，第一，数列{xn}单调；第二，数列{xn}有界
(1)单调性
因为当Xn>0时，X(n+1)>0，
又X0>0
所以对于任意的n有Xn>0
故利用均值不等式，对任意的n都有
X(n+1)=Xn/2+2/Xn≥2√(Xn/2 * 2/Xn)=2
另一方面，对任意的n都有
X(n+1)-Xn=(4-(Xn)²)/(2Xn)
因为Xn≥2
所以X(n+1)-Xn=(4-(Xn)²)/(2Xn)≤0
所以X(n+1)≤Xn
所以数列{Xn}为单减数列
(2)有界性
单减数列一定有上界，另外上面我们已经证明了对于任意的n
Xn≥2
所以数列{Xn}也有下界
故数列{Xn}也有界
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由(1),(2)的结论可知limXn存在
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