∫dx⼀根号（a눀-x눀）^3

2026年09月22日 00:00

有2个网友回答

网友（1）：

应该是令x=a *sinθ
那么dx=a *cosθ dθ，
而√(a²-x²)= a *cosθ
所以
原积分
=∫ 1/(a *cosθ)^3 *a*cosθ dθ
=∫ 1/(a *cosθ)² dθ
= 1/a² *∫ 1/cos²θ dθ
=1/a² * (tanθ +C)，C为常数
而tanθ=sinθ /cosθ= x/√(a²-x²)
所以
原积分
=1/a² * (tanθ +C)
=1/a² * [x/√(a²-x²) +C] ，C为常数

网友（2）：

令x=tan u;
则:原积分
=∫(tan^2 u +1)^(-3/2) d(tan u)
=∫(sec^2 u)^(-3/2) ·(sec^2 u) du
=∫(sec u)^(-3+2) du
=∫(sec u)^(-1) du
=∫(1/sec u) du
=∫cos u du
=sin u +C
=x/√(1+x^2) +C

C为任意常数