为什么球的表面积公式推导过程是对2πy√dx^2+dy^2求积分而不是对2πydx求积分?

2026年09月20日 18:16
有3个网友回答
网友(1):

因为求积分实际上求的是体积,你一定把这个弄混了

但是我告诉你,如果是圆的话,你真的可以这么做。。。



取极坐标曲线r=r(θ)(OA)的一个微小增量Δθ,那么可得到r(θ+Δθ)(OB),以O为圆

心,r(θ)为半径作弧与r(θ+dθ)有一交点记为C,因为Δθ很小,∠OCA≈90°,AC≈rΔθ,BC≈Δr≈r'(θ)Δθ,并且可以将AB间

的弧近似看作线段AB,由勾股定理可得Δs≈√[r^2(θ)+r'^2(θ)]Δθ,而当Δθ→0,上述所有约等号可以改为等号,所以有

ds=√[r^2(θ)+r'^2(θ)]dθ 


但是在圆中,这个导数项消掉了

实际上圆只是特例,体积的导数就是表面积,或者说,面积的导数就是弧长。

为什么是呢,很简单,因为1Rad*1=1 

也就是一个角度,对应一个弧长,是一个定值。

所以导数本来导出来的是角度,当然角度也就是弧长了

在其他几何体中是不存在的。因为没有角度和弧长就是R比例的关系

网友(2):

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网友(3):

2pi*ydx求的是体积啊,求面积必须要知道曲线长度,所以用根号(dx^2+dy^2)